Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}]$

Этап 1

Найдем собственные значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$

Этап 1.2

Единичная матрица размера $3$ представляет собой квадратную матрицу $3 \times 3$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] - λ I_{3})$

Этап 1.3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{3}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.6

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.6.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.6.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.7

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.7.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.8

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.8.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 1.4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 10 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 10 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.2

Добавим $4$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 4 \\ 0 + 0 & 10 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.3

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 4 \\ 0 & 10 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.4

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 4 \\ 0 & 10 - λ & 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.5

Добавим $4$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 4 \\ 0 & 10 - λ & 0 \\ 4 & 0 + 0 & - 8 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.6

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 4 \\ 0 & 10 - λ & 0 \\ 4 & 0 & - 8 - λ \end{array}]$

Этап 1.5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 1.5.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 0 & - 8 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 0 & - 8 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 4 & - 8 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(10 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 4 & - 8 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 - λ & 0 \\ 4 & 0 \end{array} |$

Этап 1.5.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 7 - λ & 0 \\ 4 & 0 \end{array} |$

Этап 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 0 & - 8 - λ \end{array} | + (10 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 4 & - 8 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 7 - λ & 0 \\ 4 & 0 \end{array} |$

Этап 1.5.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 0 & - 8 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (10 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 4 & - 8 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 7 - λ & 0 \\ 4 & 0 \end{array} |$

Этап 1.5.3

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 7 - λ & 0 \\ 4 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (10 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 4 & - 8 - λ \end{array} | + 0$

Этап 1.5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 4 & - 8 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + (10 - λ) ((7 - λ) (- 8 - λ) - 4 \cdot 4) + 0$

Этап 1.5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Развернем $(7 - λ) (- 8 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (7 (- 8 - λ) - λ (- 8 - λ) - 4 \cdot 4) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (7 \cdot - 8 + 7 (- λ) - λ (- 8 - λ) - 4 \cdot 4) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (7 \cdot - 8 + 7 (- λ) - λ \cdot - 8 - λ (- λ) - 4 \cdot 4) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.2.1.1

Умножим $7$ на $- 8$ .

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (- 56 + 7 (- λ) - λ \cdot - 8 - λ (- λ) - 4 \cdot 4) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $7$ .

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (- 56 - 7 λ - λ \cdot - 8 - λ (- λ) - 4 \cdot 4) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.3

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (- 56 - 7 λ + 8 λ - λ (- λ) - 4 \cdot 4) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (- 56 - 7 λ + 8 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 4 \cdot 4) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (- 56 - 7 λ + 8 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 4 \cdot 4) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (- 56 - 7 λ + 8 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 4) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (- 56 - 7 λ + 8 λ + 1 λ^{2} - 4 \cdot 4) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (- 56 - 7 λ + 8 λ + λ^{2} - 4 \cdot 4) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.2

Добавим $- 7 λ$ и $8 λ$ .

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (- 56 + λ + λ^{2} - 4 \cdot 4) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.3

Умножим $- 4$ на $4$ .

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (- 56 + λ + λ^{2} - 16) + 0$

Этап 1.5.4.2.2

Вычтем $16$ из $- 56$ .

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (λ + λ^{2} - 72) + 0$

Этап 1.5.4.2.3

Изменим порядок $λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (λ^{2} + λ - 72) + 0$

Этап 1.5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Объединим противоположные члены в $0 + (10 - λ) (λ^{2} + λ - 72) + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1.1

Добавим $0$ и $(10 - λ) (λ^{2} + λ - 72)$ .

$p (λ) = (10 - λ) (λ^{2} + λ - 72) + 0$

Этап 1.5.5.1.2

Добавим $(10 - λ) (λ^{2} + λ - 72)$ и $0$ .

$p (λ) = (10 - λ) (λ^{2} + λ - 72)$

Этап 1.5.5.2

Развернем $(10 - λ) (λ^{2} + λ - 72)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = 10 λ^{2} + 10 λ + 10 \cdot - 72 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot λ - λ \cdot - 72$

Этап 1.5.5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1

Умножим $10$ на $- 72$ .

$p (λ) = 10 λ^{2} + 10 λ - 720 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot λ - λ \cdot - 72$

Этап 1.5.5.3.2

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.2.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = 10 λ^{2} + 10 λ - 720 - (λ^{2} λ) - λ \cdot λ - λ \cdot - 72$

Этап 1.5.5.3.2.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.2.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = 10 λ^{2} + 10 λ - 720 - (λ^{2} λ^{1}) - λ \cdot λ - λ \cdot - 72$

Этап 1.5.5.3.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = 10 λ^{2} + 10 λ - 720 - λ^{2 + 1} - λ \cdot λ - λ \cdot - 72$

Этап 1.5.5.3.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = 10 λ^{2} + 10 λ - 720 - λ^{3} - λ \cdot λ - λ \cdot - 72$

Этап 1.5.5.3.3

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.3.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = 10 λ^{2} + 10 λ - 720 - λ^{3} - (λ \cdot λ) - λ \cdot - 72$

Этап 1.5.5.3.3.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = 10 λ^{2} + 10 λ - 720 - λ^{3} - λ^{2} - λ \cdot - 72$

Этап 1.5.5.3.4

Умножим $- 72$ на $- 1$ .

$p (λ) = 10 λ^{2} + 10 λ - 720 - λ^{3} - λ^{2} + 72 λ$

Этап 1.5.5.4

Вычтем $λ^{2}$ из $10 λ^{2}$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} + 10 λ - 720 - λ^{3} + 72 λ$

Этап 1.5.5.5

Добавим $10 λ$ и $72 λ$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} + 82 λ - 720 - λ^{3}$

Этап 1.5.5.6

Перенесем $- 720$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} + 82 λ - λ^{3} - 720$

Этап 1.5.5.7

Перенесем $82 λ$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - λ^{3} + 82 λ - 720$

Этап 1.5.5.8

Изменим порядок $9 λ^{2}$ и $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 9 λ^{2} + 82 λ - 720$

Этап 1.6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$- λ^{3} + 9 λ^{2} + 82 λ - 720 = 0$

Этап 1.7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Разложим $- λ^{3} + 9 λ^{2} + 82 λ - 720$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 720, \pm 2, \pm 360, \pm 3, \pm 240, \pm 4, \pm 180, \pm 5, \pm 144, \pm 6, \pm 120, \pm 8, \pm 90, \pm 9, \pm 80, \pm 10, \pm 72, \pm 12, \pm 60, \pm 15, \pm 48, \pm 16, \pm 45, \pm 18, \pm 40, \pm 20, \pm 36, \pm 24, \pm 30$

$q = \pm 1$

Этап 1.7.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 720, \pm 2, \pm 360, \pm 3, \pm 240, \pm 4, \pm 180, \pm 5, \pm 144, \pm 6, \pm 120, \pm 8, \pm 90, \pm 9, \pm 80, \pm 10, \pm 72, \pm 12, \pm 60, \pm 15, \pm 48, \pm 16, \pm 45, \pm 18, \pm 40, \pm 20, \pm 36, \pm 24, \pm 30$

Этап 1.7.1.1.3

Подставим $8$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $8$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1.3.1

Подставим $8$ в многочлен.

$- 8^{3} + 9 \cdot 8^{2} + 82 \cdot 8 - 720$

Этап 1.7.1.1.3.2

Возведем $8$ в степень $3$ .

$- 1 \cdot 512 + 9 \cdot 8^{2} + 82 \cdot 8 - 720$

Этап 1.7.1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $512$ .

$- 512 + 9 \cdot 8^{2} + 82 \cdot 8 - 720$

Этап 1.7.1.1.3.4

Возведем $8$ в степень $2$ .

$- 512 + 9 \cdot 64 + 82 \cdot 8 - 720$

Этап 1.7.1.1.3.5

Умножим $9$ на $64$ .

$- 512 + 576 + 82 \cdot 8 - 720$

Этап 1.7.1.1.3.6

Добавим $- 512$ и $576$ .

$64 + 82 \cdot 8 - 720$

Этап 1.7.1.1.3.7

Умножим $82$ на $8$ .

$64 + 656 - 720$

Этап 1.7.1.1.3.8

Добавим $64$ и $656$ .

$720 - 720$

Этап 1.7.1.1.3.9

Вычтем $720$ из $720$ .

$0$

Этап 1.7.1.1.4

Поскольку $8$ — известный корень, разделим многочлен на $λ - 8$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- λ^{3} + 9 λ^{2} + 82 λ - 720}{λ - 8}$

Этап 1.7.1.1.5

Разделим $- λ^{3} + 9 λ^{2} + 82 λ - 720$ на $λ - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$λ$

$8$

$λ^{3}$

$9 λ^{2}$

$82 λ$

$720$

Этап 1.7.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- λ^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$

Этап 1.7.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$

Этап 1.7.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- λ^{3} + 8 λ^{2}$ .

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$

Этап 1.7.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$λ^{2}$

Этап 1.7.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	+	$82 λ$

Этап 1.7.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $λ^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	+	$82 λ$

Этап 1.7.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	+	$82 λ$
					+	$λ^{2}$	-	$8 λ$

Этап 1.7.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $λ^{2} - 8 λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	+	$82 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$8 λ$

Этап 1.7.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	+	$82 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$8 λ$
							+	$90 λ$

Этап 1.7.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	+	$82 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$8 λ$
							+	$90 λ$	-	$720$

Этап 1.7.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $90 λ$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$λ$	+	$90$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	+	$82 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$8 λ$
							+	$90 λ$	-	$720$

Этап 1.7.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$λ^{2}$	+	$λ$	+	$90$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	+	$82 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$8 λ$
							+	$90 λ$	-	$720$
							+	$90 λ$	-	$720$

Этап 1.7.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $90 λ - 720$ .

			-	$λ^{2}$	+	$λ$	+	$90$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	+	$82 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$8 λ$
							+	$90 λ$	-	$720$
							-	$90 λ$	+	$720$

Этап 1.7.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$λ^{2}$	+	$λ$	+	$90$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	+	$82 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$8 λ$
							+	$90 λ$	-	$720$
							-	$90 λ$	+	$720$
										$0$

Этап 1.7.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- λ^{2} + λ + 90$

Этап 1.7.1.1.6

Запишем $- λ^{3} + 9 λ^{2} + 82 λ - 720$ в виде набора множителей.

$(λ - 8) (- λ^{2} + λ + 90) = 0$

Этап 1.7.1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 90 = - 90$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.1.1.1

Умножим на $1$ .

$(λ - 8) (- λ^{2} + 1 λ + 90) = 0$

Этап 1.7.1.2.1.1.2

Запишем $1$ как $- 9$ плюс $10$

$(λ - 8) (- λ^{2} + (- 9 + 10) λ + 90) = 0$

Этап 1.7.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(λ - 8) (- λ^{2} - 9 λ + 10 λ + 90) = 0$

Этап 1.7.1.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(λ - 8) ((- λ^{2} - 9 λ) + 10 λ + 90) = 0$

Этап 1.7.1.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(λ - 8) (λ (- λ - 9) - 10 (- λ - 9)) = 0$

Этап 1.7.1.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- λ - 9$ .

$(λ - 8) ((- λ - 9) (λ - 10)) = 0$

Этап 1.7.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(λ - 8) (- λ - 9) (λ - 10) = 0$

Этап 1.7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$λ - 8 = 0$

$- λ - 9 = 0$

$λ - 10 = 0$

Этап 1.7.3

Приравняем $λ - 8$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Приравняем $λ - 8$ к $0$ .

$λ - 8 = 0$

Этап 1.7.3.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$λ = 8$

Этап 1.7.4

Приравняем $- λ - 9$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Приравняем $- λ - 9$ к $0$ .

$- λ - 9 = 0$

Этап 1.7.4.2

Решим $- λ - 9 = 0$ относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.2.1

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$- λ = 9$

Этап 1.7.4.2.2

Разделим каждый член $- λ = 9$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.2.2.1

Разделим каждый член $- λ = 9$ на $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{9}{- 1}$

Этап 1.7.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{λ}{1} = \frac{9}{- 1}$

Этап 1.7.4.2.2.2.2

Разделим $λ$ на $1$ .

$λ = \frac{9}{- 1}$

Этап 1.7.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.2.2.3.1

Разделим $9$ на $- 1$ .

$λ = - 9$

Этап 1.7.5

Приравняем $λ - 10$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Приравняем $λ - 10$ к $0$ .

$λ - 10 = 0$

Этап 1.7.5.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$λ = 10$

Этап 1.7.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(λ - 8) (- λ - 9) (λ - 10) = 0$ верно.

$λ = 8, - 9, 10$

Этап 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Этап 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] - 8 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $- 8$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Умножим $- 8$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим $- 8$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.3

Умножим $- 8$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.4

Умножим $- 8$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.5

Умножим $- 8$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.6

Умножим $- 8$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 & 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.7

Умножим $- 8$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 & 0 \\ 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.8

Умножим $- 8$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 & 0 \\ 0 & 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.9

Умножим $- 8$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 & 0 \\ 0 & 0 & - 8 \end{array}]$

Этап 3.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 7 - 8 & 0 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 10 - 8 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 8 \end{array}]$

Этап 3.2.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вычтем $8$ из $7$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 10 - 8 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 8 \end{array}]$

Этап 3.2.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 10 - 8 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 8 \end{array}]$

Этап 3.2.3.3

Добавим $4$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 4 \\ 0 + 0 & 10 - 8 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 8 \end{array}]$

Этап 3.2.3.4

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 4 \\ 0 & 10 - 8 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 8 \end{array}]$

Этап 3.2.3.5

Вычтем $8$ из $10$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 8 \end{array}]$

Этап 3.2.3.6

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 8 \end{array}]$

Этап 3.2.3.7

Добавим $4$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 0 \\ 4 & 0 + 0 & - 8 - 8 \end{array}]$

Этап 3.2.3.8

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 - 8 \end{array}]$

Этап 3.2.3.9

Вычтем $8$ из $- 8$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & - 16 \end{array}]$

Этап 3.3

Find the null space when $λ = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & - 16 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - 1 \cdot 4 & - 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & - 16 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & - 16 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & 0 - 4 \cdot 0 & - 16 - 4 \cdot - 4 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 4 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.3.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 4 z = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Этап 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 z \\ 0 \\ z \end{array}]$

Этап 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Этап 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Этап 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + 9 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $9$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 9 \cdot 1 & 9 \cdot 0 & 9 \cdot 0 \\ 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 & 9 \cdot 0 \\ 9 \cdot 0 & 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Умножим $9$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 9 & 9 \cdot 0 & 9 \cdot 0 \\ 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 & 9 \cdot 0 \\ 9 \cdot 0 & 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $9$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 9 & 0 & 9 \cdot 0 \\ 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 & 9 \cdot 0 \\ 9 \cdot 0 & 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.3

Умножим $9$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 9 & 0 & 0 \\ 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 & 9 \cdot 0 \\ 9 \cdot 0 & 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.4

Умножим $9$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 \cdot 1 & 9 \cdot 0 \\ 9 \cdot 0 & 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.5

Умножим $9$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 9 \cdot 0 \\ 9 \cdot 0 & 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.6

Умножим $9$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 9 \cdot 0 & 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.7

Умножим $9$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.8

Умножим $9$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.9

Умножим $9$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}]$

Этап 4.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 7 + 9 & 0 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 10 + 9 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 + 9 \end{array}]$

Этап 4.2.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Добавим $7$ и $9$ .

$[\begin{array}{c} 16 & 0 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 10 + 9 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 + 9 \end{array}]$

Этап 4.2.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 16 & 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 10 + 9 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 + 9 \end{array}]$

Этап 4.2.3.3

Добавим $4$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 16 & 0 & 4 \\ 0 + 0 & 10 + 9 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 + 9 \end{array}]$

Этап 4.2.3.4

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 16 & 0 & 4 \\ 0 & 10 + 9 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 + 9 \end{array}]$

Этап 4.2.3.5

Добавим $10$ и $9$ .

$[\begin{array}{c} 16 & 0 & 4 \\ 0 & 19 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 + 9 \end{array}]$

Этап 4.2.3.6

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 16 & 0 & 4 \\ 0 & 19 & 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 + 9 \end{array}]$

Этап 4.2.3.7

Добавим $4$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 16 & 0 & 4 \\ 0 & 19 & 0 \\ 4 & 0 + 0 & - 8 + 9 \end{array}]$

Этап 4.2.3.8

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 16 & 0 & 4 \\ 0 & 19 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 + 9 \end{array}]$

Этап 4.2.3.9

Добавим $- 8$ и $9$ .

$[\begin{array}{c} 16 & 0 & 4 \\ 0 & 19 & 0 \\ 4 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 4.3

Find the null space when $λ = - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 16 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 19 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{16}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{16}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{16}{16} & \frac{0}{16} & \frac{4}{16} & \frac{0}{16} \\ 0 & 19 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 19 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 19 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & 0 - 4 \cdot 0 & 1 - 4 (\frac{1}{4}) & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 19 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{19}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{19}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ \frac{0}{19} & \frac{19}{19} & \frac{0}{19} & \frac{0}{19} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.3.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1}{4} z = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Этап 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{4} \\ 0 \\ z \end{array}]$

Этап 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{4} \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Этап 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{4} \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Этап 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] - 10 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $- 10$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Умножим $- 10$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.2

Умножим $- 10$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.3

Умножим $- 10$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.4

Умножим $- 10$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.5

Умножим $- 10$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.6

Умножим $- 10$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.7

Умножим $- 10$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.8

Умножим $- 10$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.9

Умножим $- 10$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & - 10 \end{array}]$

Этап 5.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 7 - 10 & 0 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 10 - 10 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 10 \end{array}]$

Этап 5.2.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вычтем $10$ из $7$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 10 - 10 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 10 \end{array}]$

Этап 5.2.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 10 - 10 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 10 \end{array}]$

Этап 5.2.3.3

Добавим $4$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 4 \\ 0 + 0 & 10 - 10 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 10 \end{array}]$

Этап 5.2.3.4

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 4 \\ 0 & 10 - 10 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 10 \end{array}]$

Этап 5.2.3.5

Вычтем $10$ из $10$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 10 \end{array}]$

Этап 5.2.3.6

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 10 \end{array}]$

Этап 5.2.3.7

Добавим $4$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 + 0 & - 8 - 10 \end{array}]$

Этап 5.2.3.8

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 - 10 \end{array}]$

Этап 5.2.3.9

Вычтем $10$ из $- 8$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & - 18 \end{array}]$

Этап 5.3

Find the null space when $λ = 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & - 18 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot 4 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & - 18 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & - 18 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & 0 - 4 \cdot 0 & - 18 - 4 (- \frac{4}{3}) & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.2.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{38}{3} & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 3$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{38}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{3}{38}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{3}{38}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{4}{3} & 0 \\ - \frac{3}{38} \cdot 0 & - \frac{3}{38} \cdot 0 & - \frac{3}{38} (- \frac{38}{3}) & - \frac{3}{38} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.4.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{4}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{4}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{4}{3} \cdot 0 & 0 + \frac{4}{3} \cdot 0 & - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{4}{3} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.5.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 0$

$z = 0$

$0 = 0$

Этап 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ y \\ 0 \end{array}]$

Этап 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

Этап 5.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | y \in R}$

Этап 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

Этап 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{4} \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$